Bất Đẳng Thức Cauchy Schwarz Lớp 9 - Bất Đẳng Thức Phổ Biến

Giới thiệu về bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz là một trong những bất đẳng thức quan trọng được học sinh lớp 9 được làm quen. Bất đẳng thức mang tên của hai nhà toán học nổi tiếng người Đức là Augustin Cauchy và Hermann Schwarz.

Phát biểu bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

Cho hai vectơ a, b trong không gian vectơ thực Rn. Kí hiệu (a, b) là tích vô hướng của hai vectơ. Khi đó có bất đẳng thức:

(a, b)2 ≤ (a, a)(b, b)

Hay nói cách khác:

|a1b1 + a2b2 + ... + anbn| ≤ √(a12 + a22 + ... + an2)(b12 + b22 + ... + bn2)

Ý nghĩa của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho thấy tích vô hướng của hai vectơ luôn nhỏ hơn hoặc bằng tích của độ dài (norm) của chúng. Nó thể hiện mối liên hệ giữa hai vectơ trong không gian Euclide.

Các bước chứng minh bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

Dưới đây là các bước chứng minh bất đẳng thức Cauchy-Schwarz đối với hai vectơ a, b bất kỳ:

Bước 1: Xét hàm số f(t) = (ta + b, ta + b)

Với t là một số thực bất kỳ. Khi đó ta + b vẫn là một vectơ trong không gian Rn nên f(t) luôn được định nghĩa.

Bước 2: Mở rộng biểu thức f(t)

Sau khi mở rộng, ta được: f(t) = (ta + b, ta + b) = (ta, ta) + 2(ta, b) + (b, b)

Bước 3: Tìm cực tiểu của hàm số f(t)

Đạo hàm của f(t) là f'(t) = 2(a, a)t + 2(a, b). Vì f(t) luôn dương nên cực tiểu của nó phải là f'(t) = 0. Suy ra t = - (a,b)/(a,a).

Gọi t0 = - (a,b)/(a,a). Thay t0 vào biểu thức f(t) ta được:

f(t0) = (a, a) - 2(a,b)2/(a,a) + (b, b) ≥ 0

Bước 4: Sắp xếp lại các thành phần

Sắp xếp lại các thành phần trong biểu thức f(t0), ta được: (a, b)2 ≤ (a, a)(b, b)

Như vậy là đã chứng minh được bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Ứng dụng của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz có nhiều ứng dụng trong toán học cũng như vật lý, điển hình là:

1. Chứng minh các bất đẳng thức khác

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz là công cụ hữu hiệu để chứng minh nhiều bất đẳng thức khác như: bất đẳng thức tiệm cận, bất đẳng thức Hölder...

2. Tính toán các giá trị riêng và vectơ riêng

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz giúp tìm ra các giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận hoặc ánh xạ tuyến tính.

3. Ước lượng giá trị riêng của ma trận

Thông qua bất đẳng thức, ta có thể suy ra các ước lượng bên trên, bên dưới cho giá trị riêng của ma trận.

4. Tính toán các hệ phương trình tuyến tính

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz giúp ước lượng nghiệm của hệ phương trình tuyến tính, từ đó xác định được tập nghiệm.

Như vậy, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz là công cụ mạnh mẽ giải quyết nhiều bài toán trong đại số, giải tích và vật lý. Học sinh cần nắm chắc và vận dụng linh hoạt bất đẳng thức này để giải quyết các bài toán khác nhau.

Tìm hiểu & tham khảo về Bất đẳng Thức Cauchy Schwarz Lớp 9