Phương trình bậc hai có nghiệm kép
Một phương trình bậc hai có dạng ax^2 + bx + c = 0, trong đó a, b, và c là các số hệ số. Để tìm m sao cho phương trình này có nghiệm kép, chúng ta có thể áp dụng công thức sau:
Δ = b^2 - 4ac = 0
Trong đó, Δ được gọi là "định thức" của phương trình bậc hai. Nếu Δ = 0, phương trình sẽ có hai nghiệm bằng nhau, tức là có nghiệm kép.
Để tìm m sao cho Δ = 0, chúng ta có thể thay b = 2m và giải phương trình 4m^2 - 4ac = 0 để tìm giá trị của m.
Ví dụ minh họa
Cho phương trình bậc hai: x^2 + 2mx - 6 = 0. Tìm giá trị của m sao cho phương trình này có nghiệm kép.
Giải:
Áp dụng công thức Δ = 0, ta có:
Δ = (2m)^2 - 4 × 1 × (-6) = 0
4m^2 + 24 = 0
4m^2 = -24
m^2 = -6
Vậy, m = ±√6
Như vậy, để phương trình x^2 + 2mx - 6 = 0 có nghiệm kép, m phải bằng ±√6.
Phương trình bậc hai có các nghiệm cùng dấu
Để tìm m sao cho phương trình bậc hai có các nghiệm cùng dấu (cùng dương hoặc cùng âm), chúng ta có thể sử dụng điều kiện sau:
b^2 - 4ac < 0
Nếu điều kiện này được đáp ứng, phương trình sẽ có hai nghiệm cùng dấu (cùng dương hoặc cùng âm).
Ví dụ minh họa
Cho phương trình bậc hai: x^2 + 2mx - 3 = 0. Tìm giá trị của m sao cho phương trình này có hai nghiệm cùng dấu.
Giải:
Áp dụng điều kiện b^2 - 4ac < 0, ta có:
(2m)^2 - 4 × 1 × (-3) < 0
4m^2 + 12 < 0
4m^2 < -12
m^2 < -3
Vậy, m phải nằm trong khoảng (-∞, -√3) hoặc (√3, +∞).
Như vậy, để phương trình x^2 + 2mx - 3 = 0 có hai nghiệm cùng dấu, m phải nằm trong một trong hai khoảng trên.
Phương trình bậc hai có các nghiệm trái dấu
Để tìm m sao cho phương trình bậc hai có các nghiệm trái dấu (một dương và một âm), chúng ta có thể sử dụng điều kiện sau:
b^2 - 4ac > 0
Nếu điều kiện này được đáp ứng, phương trình sẽ có hai nghiệm trái dấu (một dương và một âm).
Ví dụ minh họa
Cho phương trình bậc hai: x^2 + 2mx + 3 = 0. Tìm giá trị của m sao cho phương trình này có hai nghiệm trái dấu.
Giải:
Áp dụng điều kiện b^2 - 4ac > 0, ta có:
(2m)^2 - 4 × 1 × 3 > 0
4m^2 - 12 > 0
4m^2 > 12
m^2 > 3
Vậy, m phải nằm trong khoảng (-∞, -√3) hoặc (√3, +∞).
Như vậy, để phương trình x^2 + 2mx + 3 = 0 có hai nghiệm trái dấu, m phải nằm trong một trong hai khoảng trên.
Tóm lược
Trong bài viết này, chúng ta đã học cách tìm m để phương trình bậc hai có nghiệm kép, có các nghiệm cùng dấu, hoặc có các nghiệm trái dấu. Bằng cách áp dụng các điều kiện về định thức và quan h* giữa hệ số của phương trình, chúng ta có thể xác định các giá trị của m đáp ứng các trường hợp khác nhau.
Đây là một kỹ năng quan trọng trong giải toán lớp 9 và sẽ giúp ích cho việc giải quyết nhiều bài tập và vấn đề liên quan đến phương trình bậc hai trong tương lai.