Bài tập tính khoảng cách trong hình học không gian - Ví dụ, Lý thuyết

Bài tập tính khoảng cách trong hình học không gian

Trong hình học không gian, có rất nhiều bài tập liên quan đến việc tìm khoảng cách giữa các đối tượng như điểm, đường thẳng, mặt phẳng. Đây là một kỹ năng quan trọng trong học tập và ứng dụng hình học. Hãy cùng chúng tôi tìm hiểu chi tiết về các bài tập tính khoảng cách trong hình học không gian.

Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, ta cần xác định vị trí của điểm đó so với mặt phẳng. Nếu điểm nằm trên mặt phẳng, khoảng cách bằng 0. Nếu điểm nằm ngoài mặt phẳng, ta có thể sử dụng công thức:

Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²)

Trong đó, (x₀, y₀, z₀) là tọa độ của điểm M, và (A, B, C, D) là hệ số của phương trình mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0.

Ví dụ tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Cho mặt phẳng (P): 2x - y + 3z - 5 = 0 và điểm M(1, 2, 3). Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P).

Giải:

Từ phương trình mặt phẳng, ta có: A = 2, B = -1, C = 3, D = -5

Tọa độ của điểm M: x₀ = 1, y₀ = 2, z₀ = 3

Khoảng cách từ M đến (P) = |2(1) - 1(2) + 3(3) - 5| / √(2² + (-1)² + 3²)

= |2 - 2 + 9 - 5| / √4 + 1 + 9

= |4| / √14

= 4 / √14

Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Để tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, ta cần xác định vị trí của điểm đó so với đường thẳng. Nếu điểm nằm trên đường thẳng, khoảng cách bằng 0. Nếu điểm nằm ngoài đường thẳng, ta có thể sử dụng công thức:

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (Δ) = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²)

Trong đó, (x₀, y₀, z₀) là tọa độ của điểm M, và (A, B, C, D) là hệ số của phương trình đường thẳng (Δ): (A/a) = (B/b) = (C/c) = D.

Ví dụ tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Cho đường thẳng (Δ): (x - 1) / 2 = (y + 1) / 3 = (z - 2) / 4 và điểm M(3, -1, 1). Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (Δ).

Giải:

Từ phương trình đường thẳng, ta có: A = 2, B = -3, C = 4, D = -1

Tọa độ của điểm M: x₀ = 3, y₀ = -1, z₀ = 1

Khoảng cách từ M đến (Δ) = |2(3) - 3(-1) + 4(1) - (-1)| / √(2² + (-3)² + 4²)

= |6 + 3 + 4 + 1| / √4 + 9 + 16

= |14| / √29

= 14 / √29

Khoảng cách giữa hai điểm trong không gian

Trong hình học không gian, khoảng cách giữa hai điểm M(x₁, y₁, z₁) và N(x₂, y₂, z₂) được tính theo công thức:

d(M, N) = √[(x₁ - x₂)² + (y₁ - y₂)² + (z₁ - z₂)²]

Ví dụ tính khoảng cách giữa hai điểm

Cho hai điểm M(2, -1, 3) và N(4, 1, 5). Tính khoảng cách từ điểm M đến điểm N.

Giải:

x₁ = 2, y₁ = -1, z₁ = 3 (tọa độ điểm M)

x₂ = 4, y₂ = 1, z₂ = 5 (tọa độ điểm N)

d(M, N) = √[(2 - 4)² + (-1 - 1)² + (3 - 5)²]

= √[(-2)² + (-2)² + (-2)²]

= √[4 + 4 + 4]

= √12

= 2√3

Với những ví dụ trên, hi vọng bạn sẽ hiểu rõ hơn về cách tính khoảng cách trong hình học không gian. Đây là một kỹ năng quan trọng và ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Hãy tiếp tục luyện tập để nâng cao kỹ năng của mình.

Các bạn có thể tham khảo thêm nguồn khác: