Chứng Minh Bất Đẳng Thức Lớp 8 - Tổng Hợp Kiến Thức

Giới thiệu về chứng minh bất đẳng thức

Chứng minh bất đẳng thức là một chủ đề quan trọng trong chương trình toán lớp 8. Học sinh cần nắm vững các kiến thức và kỹ năng chứng minh bất đẳng thức để vận dụng giải quyết các bài toán trong chương trình cũng như thi cử.

Một số khái niệm cơ bản

Trước hết, ta cùng ôn lại một số khái niệm cơ bản về bất đẳng thức như:

• Bất đẳng thức: Là phát biểu so sánh hai biểu thức bằng dấu hiệu <, <=, >, >=
• Chứng minh bất đẳng thức: Là quá trình suy luận logic để khẳng định tính đúng đắn của bất đẳng thức.

Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức thường gặp

Để chứng minh một bất đẳng thức, chúng ta thường sử dụng một số phương pháp sau:

• Sử dụng tính chất đẳng thức
• Sử dụng hằng đẳng thức
• Phương pháp đổi biến số
• Sử dụng phép biến đổi đương đẳng
• Phân tích, thế giá trị

Tùy thuộc vào từng dạng bài cụ thể, chúng ta linh hoạt vận dụng các phương pháp trên để chứng minh bất đẳng thức một cách hợp lý, khoa học.

Một số dạng bài tập chứng minh bất đẳng thức thường gặp

Dạng 1: Sử dụng tính chất đẳng thức

Với dạng bài này, chúng ta dựa vào các tính chất của phép = như: tính phản xạ, tính truyền nghịch... để suy ra bất đẳng thức cần chứng minh:

Ví dụ: Chứng minh rằng: x + 3 < 7 với mọi số thực x.

• Theo tính chất phản xạ của phép = ta có:
• x + 3 < 7 ⟺ 3 + x < 7 (đúng với mọi x thực)

Như vậy, bất đẳng thức đã được chứng minh.

Dạng 2: Sử dụng hằng đẳng thức

Áp dụng một số hằng đẳng thức quen thuộc như: (a + b)2 ≥ 0; √a2 = |a|; a2 ≥ 0 với mọi a, b thực...

Ví dụ:

Chứng minh: √3x2 + x + 1 > x + 1 với mọi x thực.

• √(3x2 + x + 1) ≥ √(3x2) = √3.√(x2) = |x|√3 (vì với mọi x thực, 3x2 + x + 1 ≥ 3x2 ≥ 0)
• Do |x|√3 > x + 1 với mọi x thực.

Như vậy, bất đẳng thức đã được chứng minh.

Dạng 3: Sử dụng phương pháp đổi biến

Thay đổi biến số trong bất đẳng thức thành biến số khác có quan h* xác định với nó để đơn giản hóa bất đẳng thức.

Ví dụ:

Chứng minh: \frac{x+1}{x-5}>\frac{x}{x-3} với mọi x ≠ 3; 5

• Đặt x - 3 = t, ta có: x = t + 3
• Thay x = t + 3 vào bất đẳng thức trên, ta được: \frac{t+4}{t+2} > \frac{t+3}{t}
• Chứng minh: \frac{t+4}{t+2} > \frac{t+3}{t} ⟺ (t + 4)(t) > (t + 3)(t + 2)
(t + 4)(t) = t2 + 4t > t2 + 3t + 2 = (t + 3)(t + 2) (vì 4t > 3t + 2)

Như vậy, bất đẳng thức ban đầu đã được chứng minh.

Bài tập vận dụng

Dưới đây là một số bài tập vận dụng về chứng minh bất đẳng thức, các em hãy thử sức giải quyết:

1. Chứng minh rằng: \frac{x^2+x}{x^2-1}< \frac{x^2+3x+1}{x^2-1} với mọi x ≠ ±1.

2. Chứng minh rằng: \sqrt[3]{2x^3+5x} ≥ x + 1 với mọi x ≥ 0.

3. Cho hàm số f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}, chứng minh f(x) < x + 2 với mọi x ∈ R*.

Hy vọng qua bài viết, các em đã nắm được những kiến thức cơ bản về chứng minh bất đẳng thức cũng như có thể vận dụng tốt để giải quyết các dạng bài tập trong chương trình. Chúc các em học tốt môn Toán!

Tìm hiểu & tham khảo về Chứng Minh Bất đẳng Thức Lớp 8