Định nghĩa đường tròn lượng giác
Đường tròn lượng giác là một đường tròn đơn vị, có tâm O và bán kính bằng 1 đơn vị đo. Đường tròn này được định hướng theo quy ước chiều dương là chiều ngược chiều kim đồng hồ, và có một điểm gốc A nằm trên đường tròn.
Đặc điểm của đường tròn lượng giác
- Tâm O của đường tròn lượng giác là gốc tọa độ.
- Bán kính của đường tròn là 1 đơn vị đo (thường là đơn vị cm hoặc m).
- Chiều dương được định nghĩa là chiều ngược chiều kim đồng hồ.
- Điểm A là điểm gốc, nằm trên đường tròn và có tọa độ (1,0).
Tính chất và công thức liên quan đến đường tròn lượng giác
Tính chất về tọa độ của các điểm trên đường tròn lượng giác
Với một điểm M bất kỳ trên đường tròn lượng giác, tọa độ của điểm M có thể được tính toán bằng công thức:
- Tọa độ hoành (x): x = cos(α)
- Tọa độ tung (y): y = sin(α)
Trong đó, α là góc lượng giác của điểm M so với điểm gốc A, tính theo đơn vị đường (rad) hoặc độ (°).
Công thức tính toán liên quan đến đường tròn lượng giác
- Công thức tính góc lượng giác: α = (s) / r
- Công thức tính cung AB: s = α * r
- Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi cung AB: S = (α * r^2) / 2
Trong đó, α là góc lượng giác, s là độ dài cung AB, r là bán kính đường tròn lượng giác (bằng 1 đơn vị đo), và S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi cung AB và hai đường kính đứng.
Ví dụ và bài tập áp dụng
Ví dụ 1: Tính toán tọa độ điểm trên đường tròn lượng giác
Cho điểm M trên đường tròn lượng giác có góc lượng giác α = 60°. Tìm tọa độ của điểm M.
Giải:
Áp dụng công thức tính tọa độ của điểm trên đường tròn lượng giác:
- Tọa độ hoành (x): x = cos(α) = cos(60°) = 1/2
- Tọa độ tung (y): y = sin(α) = sin(60°) = √3/2
Vậy, tọa độ của điểm M là (1/2, √3/2).
Bài tập 1: Tính toán liên quan đến đường tròn lượng giác
Cho đường tròn lượng giác có bán kính r = 1. Tính độ dài cung AB và diện tích hình phẳng giới hạn bởi cung AB, biết rằng góc lượng giác của cung AB là 120°.
Giải:
Áp dụng các công thức tính toán liên quan đến đường tròn lượng giác:
- Độ dài cung AB: s = α * r = 120° * 1 = (2π/3) đơn vị đo
- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi cung AB: S = (α * r^2) / 2 = (120° * 1^2) / 2 = π/3 đơn vị vuông
Bằng cách tìm hiểu sâu hơn về định nghĩa, tính chất và công thức liên quan đến đường tròn lượng giác, học sinh lớp 10 sẽ có được nền tảng vững chắc để hiểu và áp dụng các khái niệm toán học này trong các bài tập và tình huống thực tế.