Luyện tập, Trắc Nhiệm: Luyện tập Cấp số nhân

Dãy số \(a_n\) được cho bởi : \(\begin{cases}a_1=3\\a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n\left(\forall n\ge1\right)\end{cases}\).

Khẳng định nào sau đây là sai ?

Dãy số đã cho là cấp số nhân với số hạng đầu là \(a_1=3\), công bội \(q=\dfrac{1}{2}\) nên \(a_n=a_1.q^{n-1}=\dfrac{3}{2^{n-1}}\). Vì vậy khẳng định " \(a_n=\dfrac{3}{2^n}\)" sai.

Biết rằng \(a,b,c\) lập thành một cấp số nhân. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ?

Vì a, b, c lập thành cấp số nhân nên \(b^2=ac\) .

Ta kiểm tra:

*) \(\left(a+b+c\right)\left(a-b+c\right)=\left(a+c\right)^2-b^2\)

                                             \(=a^2+2ac+c^2-b^2\)

                                             \(=a^2+2b^2+c^2-b^2\) 

                                             \(=a^2+b^2+c^2\)

*) \(\left(a^2+b^2\right)\left(b^2+c^2\right)=a^2b^2+b^2c^2+b^4+a^2c^2=a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2+a^2c^2\)

                                       \(=a^2b^2+b^2c^2+2ac.ac\)

                                       \(=a^2b^2+b^2c^2+2ac.b^2=\left(ab+bc\right)^2\)

*) \(\left(bc+ca+ab\right)^3=\left(bc+b^2+ab\right)^3\)

                                 \(=\left[b\left(c+b+a\right)\right]^3=b^2.b\left(a+b+c\right)^3=abc\left(a+b+c\right)^3\)

Vì vậy khẳng định sai chỉ có thể là khẳng định " \(\frac{2}{b-a};\frac{1}{b};\frac{2}{b-c}\) là một cấp số nhân". Thật vậy: Xét cấp số nhân \(a=1,b=2,c=4\) ta có

\(\dfrac{2}{b-a}=\dfrac{2}{2-1}=2;\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{2};\dfrac{2}{b-c}=\dfrac{2}{2-4}=-1\), ba số \(2;\dfrac{1}{2};-1\) không lập thành cấp số nhân (nếu ngược lại thì \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=2.\left(-1\right)\) vô lý.

Một cấp số nhân có n số hạng. Biết số hạng đầu \(a_1=7\), công bội q = 2 và số hạng thứ \(n:a_n=1792\). Tổng các số hạng  của cấp số này bằng bao nhiêu?

 Ta có: \(a_n=a_1.q^{n-1}=7.2^{n-1}=1792\)

                     \(\Leftrightarrow2^{n-1}=256\)

                     \(\Leftrightarrow n-1=8\)

                     \(\Leftrightarrow n=9\)

Tổng \(S_9=\frac{a_1\left(q^9-1\right)}{q-1}=\frac{7\left(2^9-1\right)}{2-1}=7.511=3577\)

Biết ba số a, b, c lập thành một cấp số cộng; a, b, c + 3 lập thành một cấp số nhân và a + b + c = 18. Tìm ba số đó.

Từ \(a,b,c\) là cấp số cộng ta có \(a+c=2b\)

     \(a+b+c=18\Leftrightarrow3b=18\Leftrightarrow b=6\)

     \(\Leftrightarrow a+c=12\Leftrightarrow c=12-a\)

Từ \(a,b,c+3\) là cấp số nhân \(\Leftrightarrow a\left(c+3\right)=b^2=36\)

     \(\Leftrightarrow a\left(15-a\right)=36\Leftrightarrow a^2-15a+36=0\)

                                      \(\Leftrightarrow a=3\) hay \(a=12\)

Nhận \(a=3\) từ đó \(a=3;b=6;c=9\).

Một cấp số nhân \(\left(a_n\right)\) có \(a_3+a_5=20;a_4+a_6=-40\). Tính tổng 8 số hạng đầu tiên của cấp số này.

   Từ giả thiết ta có

                               \(\begin{cases}a_3+a_5=20\\a_4+a_6=-40\end{cases}\) 

                          \(\Leftrightarrow\begin{cases}a_1q^2+a_1q^4=20\\a_1q^3+a_1q^5=-40\end{cases}\)

                         \(\Leftrightarrow\begin{cases}a_1q^2\left(1+q^2\right)=20\\a_1q^3\left(1+q^2\right)=-40\end{cases}\)

                        \(\Leftrightarrow\begin{cases}q=-2\\a_1=1\end{cases}\) 

    Do đó

                                  \(S_8=\frac{a_1\left(q^8-1\right)}{q-1}=\frac{1\left(\left(-2\right)^8-1\right)}{-2-1}=\frac{255}{-3}=-85\).

Tìm công bội của cấp số nhân \(\left(a_n\right)\) thỏa mãn \(\begin{cases}a_1+a_6=244\\a_3+a_4=36\end{cases}\)

Điều kiện đề cho có thể viết lại :

\(\begin{cases}a_1+a_1.q^5=244\\a_1q^2+a_1q^3=36\end{cases}\)\(\Rightarrow\frac{1+q^5}{q^2+q^3}=\frac{61}{9}\)

\(\Rightarrow9.q^5-61q^3-61q^2+9=0\)

\(\Leftrightarrow\left(q+1\right)\left(q-3\right)\left(q-\frac{1}{3}\right)\left(9q^2+21q+9\right)=0\)

\(\Leftrightarrow q=-1;q=3;q=\frac{1}{3q};q=\frac{-7-\sqrt{13}}{6};q=\frac{-7+\sqrt{13}}{6}\)

Loại \(q=-1\) còn các giá trị : \(q=3;q=\frac{1}{3};q=\frac{-7-\sqrt{13}}{6};q=\frac{-7+\sqrt{13}}{6}\) đều thỏa mãn các điều kiện của đề.

Cho cấp số nhân  \(4^{x+3},2^{5x+1},4^{x^2+1}\) . Số \(x\) phải là

              \(4^{x+3},2^{5x+1},4^{x^2+1}\) là một cấp số nhân nên

                                  \(4^{x+3}.4^{x^2+1}=\left(2^{5x+1}\right)^2\Leftrightarrow4^{x^2+x+4}=4^{5x+1}\)

                                \(\Leftrightarrow x^2+x+4=5x+1\Leftrightarrow x^2-4x+3=0\)

                                \(\Leftrightarrow x=1\) hay \(x=3\).

Một cấp số nhân \(\left(a_n\right)\) thỏa mãn :

     \(\begin{cases}a_1+a_2+a_3=13\\a_4+a_5+a_6=351\end{cases}\)

Tìm số hạng đầu tiên \(a_1\) và công bội q của cấp số nhân này.

      \(\begin{cases}a_1+a_2+a_3=13\\a_4+a_5+a_6=351\end{cases}\) 

\(\Leftrightarrow\begin{cases}a_1\left(1+q+q^2\right)=13\\a_1q^3\left(1+q+q^2\right)=351\end{cases}\)

  \(\Leftrightarrow\begin{cases}a_1=1\\q=3\end{cases}\)

Ba số \(a,b,c\) lập thành một cấp số nhân có :

\(a+b+c=21\) và \(a^2+b^2+c^2=189\)

Tìm ba số đó.

 Vì a, b, c là cấp số nhân nên \(ac=b^2\).

Ta có:

   \(\left(a+b+c\right)\left(a-b+c\right)=\left(a+c\right)^2-b^2\)

                                          \(=a^2+2ac+c^2-b^2\)

                                          \(=a^2+2b^2+c^2-b^2\)

                                          \(=a^2+b^2+c^2\)

Theo giả thiết suy ra

  \(21\left(a-b+c\right)=189\)

\(\Leftrightarrow a-b+c=9\)

Từ \(\begin{cases}a+b+c=21\\a-b+c=9\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow2b=12\Leftrightarrow b=6\)

 \(\Rightarrow a+c=21-b=21-6=15\)

\(\Rightarrow a,c\) là nghiệm của hệ : \(\begin{cases}a+c=15\\a.c=b^2=36\end{cases}\) 

\(\Leftrightarrow\begin{cases}a=3\\c=12\end{cases}\) hoặc \(\begin{cases}a=12\\c=3\end{cases}\)

Vậy \(\left(a;b;c\right)=\left(3;6;12\right)\) hoặc \(\left(a;b;c\right)=\left(12;6;3\right)\)

Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?

Dãy số \(1;\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8};\frac{1}{16};...\) là một cấp số nhân với \(u_1=1\), công bội \(q=\dfrac{1}{2}\) 

Ba số hạng đầu tiên của một cấp số nhân là 2; -6; 18. Tìm số hạng thứ năm của cấp số đó.

​\(u_1=2;u_2=-6\Rightarrow q=u_2:u_1=-3\). Do đó \(u_5=u_1.q^4=2.\left(-3\right)^4=162\).

Tìm công bội q của cấp số nhân  2; -2; 2; -2; 2; ... 

​\(q=\dfrac{u_2}{u_1}=\dfrac{2}{-2}=-1\)

Cho cấp số nhân 2; 10; 50; 250; ... Tìm số hạng thứ nhất u₁, số hạng thứ hai u₂, công bội q của cấp số này.

​Từ giả thiết suy ra \(u_1=2,u_2=10\) do đó \(q=\dfrac{u_2}{u_1}=5\)

Cho một cấp số nhân có số hạng đầu tiên là 4 và công bội là 5. Tìm 4 số hạng đầu tiên của cấp số này.

​Sử dụng công thức \(u_n=u_1q^{n-1}\)

Một người gửi 100 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 0,4%/tháng. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu để tính lãi cho tháng tiếp theo. Hỏi sau đúng 6 tháng, người đó được lĩnh số tiền (cả vốn ban đầu và lãi) gần nhất với số tiền nào dưới đây, nếu trong khoảng thời gian này người đó không rút tiền và lãi suất không thay đổi?

​

​Gọi số tiền gửi ban đầu là x thì số tiền tháng sau người đó có (cả vốn và lãi) là 1,004x (đồng)

Vậy thì sau 6 tháng, số tiền người đó được lĩnh là \(\left(1,004\right)^6x\)  (đồng)

Thay x = 100.000.000 đồng ta tìm được số tiền người đó lĩnh được sau 6 tháng là: 

102.424.000 đồng

Một người gửi tiết kiệm vào một ngân hàng với lãi suất 7,5%/năm. Biết rằng nếu không rút tiền khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn để tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó thu được (cả số tiền gửi ban đầu và lãi) gấp đôi số tiền gửi ban đầu, giả định trong khoảng thời gian này lãi suất không thay đổi và người đó không rút tiền ra?

Gọi số tiền gửi ban đầu là x (đồng, x > 0)​

Sau một năm, tính cả tiền lãi thì người đó có 1,075x (đồng)

Như vậy sau n năm, người đó có \(\left(1,075\right)^nx\)(đồng)

Theo bài ra ta có: \(\left(1,075\right)^nx\ge2x\Rightarrow n\ge10\)

Vậy ít nhất cần 10 năm để số tiền tăng gấp đôi.