Luyện tập, Trắc Nhiệm: Luyện tập Tính đạo hàm

Tính đạo hàm của hàm số \(y=\dfrac{\left(2-x^2\right)\left(3-x^3\right)}{\left(1-x\right)^2}\)

\(y=\dfrac{\left(2-x^2\right)\left(3-x^3\right)}{\left(1-x\right)^2}=\dfrac{x^5-2x^3-3x^2+6}{\left(1-x\right)^2}=\dfrac{u}{v}\) với  \(u=x^5-2x^3-3x^2+6,v=\left(1-x\right)^2\). Ta có  \(y'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\).

\(u'=5x^4-6x^2-6x,v'=-2\left(1-x\right)\) ; \(v^2=\left(1-x\right)^4\)

\(u'v-uv'=\left(5x^4-6x^2-6x\right)\left(1-x\right)^2+2\left(x^5-2x^3-3x^2+6\right)\left(1-x\right)=\left(1-x\right)\left[\left(5x^4-6x^2-6x\right)\left(1-x\right)+2\left(x^5-2x^3-3x^2+6\right)\right]\)

\(=\left(1-x\right)\left(-3x^5+5x^4+2x^3-6x^2-6x+12\right)\) . Do đó  \(y'=\dfrac{-3x^5+5x^4+2x^3-6x^2-6x+12}{\left(1-x\right)^3}\)

Cách khác: Dùng MTCT

Dùng máy tính ta tính được \(y'\left(2\right)=24.\) Tính giá trị hàm số cho trong mỗi đáp số tại \(x=2\) ta thấy chỉ hàm số \(y'=\dfrac{-3x^5+5x^4+2x^3-6x^2-6x+12}{\left(1-x\right)^3}\) cho giá trị \(24\) nên đáp số đó là đáp số đúng.

Tính đạo hàm của hàm số \(y=\sqrt[m+n]{\left(1-x\right)^m\left(1+x\right)^n}\) .

Ta có

              \(y=\left(1-x\right)^{\dfrac{m}{m+n}}\left(1+x\right)^{\dfrac{n}{m+n}}\Rightarrow y'=\dfrac{-m}{m+n}\left(1-x\right)^{\dfrac{m}{m+n}-1}\left(1+x\right)^{\dfrac{n}{m+n}}+\left(1-x\right)^{\dfrac{m}{m+n}}.\dfrac{n}{m+n}\left(1+x\right)^{\dfrac{n}{m+n}-1}\)

                     \(y'=-\dfrac{m}{m+n}\left(1-x\right)^{-\dfrac{n}{m+n}}\left(1+x\right)^{\dfrac{n}{m+n}}+\dfrac{n}{m+n}\left(1-x\right)^{\dfrac{m}{m+n}}\left(1+x\right)^{-\dfrac{m}{m+n}}\)

                        \(=-\dfrac{m}{m+n}\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)^{\dfrac{n}{m+n}}+\dfrac{n}{m+n}\left(\dfrac{1-x}{1+x}\right)^{\dfrac{m}{m+n}}\)\(=-\dfrac{m\sqrt[m+n]{\left(1+x\right)^n}}{\left(m+n\right)\sqrt[m+n]{\left(1-x\right)^n}}+\dfrac{n\sqrt[m+n]{\left(1-x\right)^m}}{\left(m+n\right)\sqrt[m+n]{\left(1+x\right)^m}}\)

                        \(=\dfrac{-m\left(1+x\right)+n\left(1-x\right)}{\left(m+n\right)\sqrt[m+n]{\left(1-x\right)^n\left(1+x\right)^m}}=\dfrac{\left(n-m\right)-\left(m+n\right)x}{\left(m+n\right)\sqrt[m+n]{\left(1-x\right)^n\left(1+x\right)^m}}\)

Cho hàm số \(y=f\left(x\right)=\frac{1}{2}\ln\left(1+x\right)-\frac{1}{4}\ln\left(1+x^2\right)-\frac{1}{2\left(1+x\right)}\)

Tính  \(f'\left(1\right)\).

\(f\left(x\right)=\dfrac{1}{2}\ln\left(1+x\right)-\dfrac{1}{4}\ln\left(1+x^2\right)-\dfrac{1}{2\left(x+1\right)}\),

 \(f'\left(x\right)=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{1+x}-\dfrac{1}{4}.\dfrac{2x}{1+x^2}+\dfrac{1}{2\left(1+x\right)^2}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{1+x}-\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{\left(1+x\right)^2}\right)\)

\(\Rightarrow\)   \(f'\left(1\right)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{1}{8}\)

Tìm đạo hàm của hàm số  \(y=\frac{1}{4\left(1+x^4\right)}+\frac{1}{4}\ln\left(\frac{x^4}{1+x^4}\right)\) .

Ta có           \(\left(\dfrac{1}{\left(1+x^4\right)}\right)'=\dfrac{-4x^3}{\left(1+x^4\right)^2}=-\dfrac{4x^3}{\left(1+x^4\right)^2}\Rightarrow\left(\dfrac{1}{4\left(1+x^4\right)}\right)'=-\dfrac{x^3}{\left(1+x^4\right)^2}\)

  và                    \(\dfrac{x^4}{1+x^4}=1-\dfrac{1}{1+x^4}\Rightarrow\left(\dfrac{x^4}{1+x^4}\right)'=\left(-\dfrac{1}{1+x^4}\right)'=\dfrac{4x^3}{\left(1+x^4\right)^2}\)   suy ra

                           \(\left(\ln\left(\dfrac{x^4}{1+x^4}\right)\right)'=\left(\dfrac{x^4}{1+x^4}\right)':\left(\dfrac{x^4}{1+x^4}\right)=\dfrac{4x^3}{\left(1+x^4\right)^2}.\dfrac{1+x^4}{x^4}=\dfrac{4}{\left(1+x^4\right)x}\)\(\Rightarrow\left(\dfrac{1}{4}\ln\left(\dfrac{x^4}{1+x^4}\right)\right)'=\dfrac{1}{x\left(1+x^4\right)}\)

Do đó                                \(y'=-\dfrac{x^3}{\left(1+x^4\right)^2}+\dfrac{1}{x\left(1+x^4\right)}=\dfrac{-x^4+\left(1+x^4\right)}{x\left(1+x^4\right)^2}=\dfrac{1}{x\left(1+x^4\right)^2}\)

Tính đạo hàm của hàm số \(y=\ln\left(\sqrt{1+e^x}-1\right)-\ln\left(\sqrt{1+e^x}+1\right)\) .

Áp dụng công thức    \(\left(\ln u\right)=\dfrac{u'}{u}\), ta suy ra

                                              \(\left(\ln\left(\sqrt{1+e^x}-1\right)\right)'=\dfrac{\dfrac{e^x}{2\sqrt{1+e^x}}}{\sqrt{1+e^x}-1}=\dfrac{e^x}{2\sqrt{1+e^x}.\left(\sqrt{1+e^x}-1\right)}\)

                                              \(\left(\ln\left(\sqrt{1+e^x}+1\right)\right)'=\dfrac{\dfrac{e^x}{2\sqrt{1+e^x}}}{\sqrt{1+e^x}+1}=\dfrac{e^x}{2\sqrt{1+e^x}.\left(\sqrt{1+e^x}+1\right)}\)

                                   \(y'=\dfrac{e^x}{2\sqrt{1+e^x}\left(\sqrt{1+e^x}-1\right)}-\dfrac{e^x}{2\sqrt{1+e^x}\left(\sqrt{1+e^x}+1\right)}=\dfrac{2e^x}{2\sqrt{1+e^x}.e^x}=\dfrac{1}{\sqrt{1+e^x}}\)

Cho hàm số \(y=f\left(x\right)=\frac{x}{2}\sqrt{x^2-a^2}-\frac{a^2}{2}\ln\left(x+\sqrt{x^2-a^2}\right)\). Tính  \(f'\left(2a\right)\).

Ta có  \(\left(\sqrt{x^2-a^2}\right)'=\dfrac{x}{\sqrt{x^2-a^2}}\), \(\left(x+\sqrt{x^2-a^2}\right)'=1+\dfrac{x}{\sqrt{x^2-a^2}}=\dfrac{x+\sqrt{x^2-a^2}}{\sqrt{x^2-a^2}}\).

Do đó   \(\left(\dfrac{x}{2}\sqrt{x^2-a^2}\right)'=\dfrac{1}{2}\sqrt{x^2-a^2}+\dfrac{x}{2}.\dfrac{x}{\sqrt{x^2-a^2}}=\dfrac{2x^2-a^2}{2\sqrt{x^2-a^2}}\) và  \(\left(\ln\left(x+\sqrt{x^2-a^2}\right)\right)'=\dfrac{x+\sqrt{x^2-a^2}}{\sqrt{x^2-a^2}}:\left(x+\sqrt{x^2-a^2}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}\)

\(y'=\dfrac{2x^2-a^2}{2\sqrt{x^2-a^2}}-\dfrac{a^2}{2\sqrt{x^2-a^2}}=\sqrt{x^2-a^2}\). Vì vậy \(f'\left(2a\right)=\sqrt{4a^2-a^2}=a\sqrt{3}\)

Cho hàm số \(y=\varphi\left(x\right)=\sqrt{x^2+1}-\ln\left(\frac{1+\sqrt{x^2+1}}{x}\right)\). Tính  \(\varphi'\left(2\right)\) .

Ta có     \(\left(1+\sqrt{x^2+1}\right)'=\left(\sqrt{x^2+1}\right)'=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}},\)

Vì     \(\varphi\left(x\right)=\sqrt{x^2+1}-\ln\left(1+\sqrt{x^2+1}\right)+\ln x\Rightarrow\varphi'\left(x\right)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}-\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}:\left(1+\sqrt{x^2+1}\right)+\dfrac{1}{x}\)

Do đó                 \(\varphi'\left(2\right)=\dfrac{2}{\sqrt{5}}-\dfrac{2}{\sqrt{5}\left(1+\sqrt{5}\right)}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}\left(1-\dfrac{1}{1+\sqrt{5}}\right)+\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{1+\sqrt{5}}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{5+\sqrt{5}}{2\left(1+\sqrt{5}\right)}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\)

Cho hàm số  \(y=x.e^{-\frac{x^2}{2}}\).

Hệ thức nào  trong các hệ thức sau  là đúng?

Ta có  \(\left(e^{-\dfrac{x^2}{2}}\right)'=-x.e^{-\dfrac{x^2}{2}}\) nên     \(y'=1.e^{-\dfrac{x^2}{2}}+x.\left(-xe^{-\dfrac{x^2}{2}}\right)=\left(1-x^2\right)e^{-\dfrac{x^2}{2}}\) suy ra

                                                                      \(xy'=\left(1-x^2\right)xe^{-\dfrac{x^2}{2}}\) 

hay   \(xy'=\left(1-x^2\right)y\)     .

Đáp số: \(xy'=\left(1-x^2\right)y\)

Cho hàm số \(y=\frac{1}{1+x+\ln x}\). Khẳng định nào trong các khẳng định sau đây đúng?

- Ta có   \(\left(1+x+\ln x\right)'=1+\dfrac{1}{x}=\dfrac{x+1}{x}\) nên   \(y'=\dfrac{-\left(x+1\right)}{x\left(1+x+\ln x\right)^2}\)

\(\Rightarrow xy'=\dfrac{-\left(x+1\right)}{\left(1+x+\ln x\right)^2}=\dfrac{1}{1+x+\ln x}.\dfrac{-\left(1+x\right)}{1+x+\ln x}=y.\dfrac{\ln x-\left(1+x+\ln x\right)}{1+x+\ln x}\)

              \(=\dfrac{1}{1+x+\ln x}\left(\dfrac{1}{1+x+\ln x}.\ln x-1\right)=y\left(y\ln x-1\right)\).

Đáp số:  \(xy'=y\left(y\ln x-1\right)\)

Cho hàm số \(y=f\left(x\right)=x^2-\dfrac{1}{2x^2}.\)  Tính \(f'\left(2\right)-f'\left(-2\right).\)

Cách 1: Dùng MTCT. Nhập biểu thức \(\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(x^2-\frac{1}{2x^2}\right)|_{x=X}\). CALC với \(x=-2\) rồi với \(x=2.\) Tính Ans - PreAns ta được kết quả là \(8,25=\frac{33}{4}.\)

Cách 2: \(f\left(x\right)=x^2-\dfrac{1}{2x^2}\Rightarrow f'\left(x\right)=2x+\dfrac{1}{x^3}\). Do đó \(f'\left(2\right)=4+\dfrac{1}{8},f'\left(-2\right)=-4-\dfrac{1}{8}\Rightarrow f'\left(2\right)-f'\left(-2\right)=8+\dfrac{1}{4}=\dfrac{33}{4}\)

Cho hàm số \(f\left(x\right)=\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{x}\). Tính giá trị biểu thức \(0,01.f'\left(0,01\right)\).

           \(f\left(x\right)=\dfrac{x-2\sqrt{x}+1}{x}=1-2.x^{-\dfrac{1}{2}}+\dfrac{1}{x}\),                                                                                                                                                     \(f'\left(x\right)=-2.\left(-\dfrac{1}{2}\right)x^{-\dfrac{3}{2}}-\dfrac{1}{x^2}\Rightarrow f'\left(0,01\right)=\left(10^{-2}\right)^{-\dfrac{3}{2}}-\left(10^{-2}\right)^{-2}=10^3-10^4=-9.10^3\)

          Do đó \(0,01.f'\left(0,01\right)=10^{-2}.\left(-9.10^3\right)=-90\)

Khẳng định nào sau đây là sai ?

Cách 1 (dùng các công thức đạo hàm cơ bản và các tính chất của đạo hàm):       \(y=\left(1-\dfrac{2}{x^2}\right)^3\Rightarrow y'=3\left(1-\dfrac{2}{x^2}\right)^2.\left(1-\dfrac{2}{x^2}\right)'=\dfrac{12}{x^3}\left(1-\dfrac{2}{x^2}\right)^2\)

b)      \(y=\dfrac{x^2}{x^2+1}\Rightarrow y'=\dfrac{2x\left(x^2+1\right)-x^2.2x}{\left(x^2+1\right)^2}=\dfrac{2x}{\left(x^2+1\right)^2}\)

c) \(y=\dfrac{x}{1-4x}\Rightarrow y'=\dfrac{1.\left(1-4x\right)-x.\left(-4\right)}{\left(1-4x\right)^2}=\dfrac{1}{\left(1-4x\right)^2}\)

d) \(y=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}=1-\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}\Rightarrow y'=\dfrac{\left(\sqrt{x}+1\right)'}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)^2}\)

Khẳng định sai là \(y=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\Rightarrow y'=\frac{1}{2\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}\).

Cách 2 (dùng MTCT): Để kiểm tra tính đúng đắn của đẳng thức \(f'\left(x\right)=g\left(x\right)\) bằng MTCT  ta có thể làm như sau: Nhập biểu thức \(\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(f\left(x\right)\right)|_{x=X}-g\left(x\right)\). Bấm CALC với vài giá trị của \(X\) (thuộc tập xác định \(f\left(x\right)\)) nếu thấy có kết quả khác \(0\) thì kết luận được đẳng thức sai. Thao tác cụ thể với câu hỏi này như sau (xét khẳng định \(y=\left(1-\frac{2}{x^2}\right)^3\Rightarrow y'=\frac{12}{x^3}\left(1-\frac{2}{x^2}\right)^2\) và khẳng định \(y=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\Rightarrow y'=\frac{1}{2\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}\), hai khẳng định còn lại làm tương tự). Ta thấy \(y=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\Rightarrow y'=\frac{1}{2\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}\) là khẳng định sai.

Cho hàm số \(f\left(x\right)=\left(1+\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^3\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

Cách 1: Dùng MTCT. Nhập vào máy biểu thức \(\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(\left(1+\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^3\right)|_{x=X}-\text{A}\) . Bấm liên tiếp CALC với \(x=1,\text{A}=4\)

, rồi \(x=-1,\text{A}=0\), \(x=8,\text{A}=-\frac{9}{64}\), \(x=-8,\text{A}=-\frac{1}{8}\). Ta thấy \(f'\left(-8\right)=-\dfrac{1}{8}\) là khẳng định sai vì máy cho kết quả khác 0.

Cách 2: Đặt  \(u=1+x^{-\dfrac{1}{3}}\)  thì \(f\left(x\right)=u^3\), do đó 

               \(f'\left(x\right)=3u^2.u'=3\left(1+\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^2.\left(-\dfrac{1}{3}x^{-\dfrac{4}{3}}\right)=-\dfrac{1}{x^{\dfrac{4}{3}}}\left(1+\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^2\)

nên \(f'\left(1\right)=-4,f'\left(-1\right)=0,f'\left(8\right)=-\dfrac{9}{64},f'\left(-8\right)=-\dfrac{1}{64}\)

Cho hàm số \(y=f\left(x\right)=\sqrt{x+2\sqrt{x}}\)

Tính  \(f'\left(1\right)\) .

Cách 1: Dùng MTCT như sau. Tính \(f'\left(1\right)\) và lưu kết quả vào ô nhớ M. Tính hiệu của M với từng đáp số, hiệu nào bằng \(0\) hoặc gần \(0\)nhất thì đáp số tương ứng là đúng.

Ta thấy \(\text{M}-\frac{\sqrt{3}}{3}=1,376\text{x}10^{-12}\approx0\) nên đáp số \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) là đúng.

Cách 2:      \(y=f\left(x\right)=\sqrt{x+2\sqrt{x}}\)\(f'\left(x\right)=\frac{\left(x+2\sqrt{x}\right)'}{2\sqrt{x+2\sqrt{x}}}=\frac{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x+2\sqrt{x}}}=\frac{\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}\sqrt{x+2\sqrt{x}}}\). Suy ra  \(f'\left(1\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)

Tính đạo hàm của hàm số   \(y=\dfrac{x^2-x+1}{x^2+x+1}\)

​Sử dụng công thức  \(\left(\dfrac{ax^2+bx+c}{mx^2+nx+p}\right)'=\dfrac{\left|\begin{matrix}a&b\\m&n\end{matrix}\right|x^2+2\left|\begin{matrix}a&c\\m&n\end{matrix}\right|x+\left|\begin{matrix}b&c\\n&p\end{matrix}\right|}{\left(mx^2+nx+p\right)^2}\).

Đáp số : \(y'=\dfrac{2\left(x^2-1\right)}{\left(x^2+x+1\right)^2}\)

Tính đạo hàm của hàm số     \(y=\dfrac{x}{\left(1-x^2\right)\left(1+x\right)^3}\)

​

  \(y=\dfrac{x}{\left(1-x^2\right)\left(1+x\right)^3}=\dfrac{u}{v}\)  với  \(u=x,v=\left(1-x^2\right)\left(1+x\right)^3\).  Theo quy tắc đạo hàm một thương thì  \(y'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\)  trong đó  

 \(u'=1,v'=-2x\left(1+x\right)^3+\left(1-x^2\right)3\left(1+x\right)^2=\left(1+x\right)^3\left[-2x+3\left(1-x\right)\right]=\left(1+x\right)^3\left(-5x+3\right)\)

\(u'v-uv'=1.\left(1-x^2\right)\left(1+x\right)^3-x.\left(1+x\right)^3\left(-5x+3\right)=\left(1+x\right)^3\left[\left(1-x^2\right)-x\left(-5x+3\right)\right]=\left(1+x\right)^3\left(4x^2-3x+1\right)\)

\(y'=\dfrac{\left(1+x\right)^3\left(4x^2-3x+1\right)}{\left(1-x^2\right)^2\left(1+x\right)^6}=\dfrac{4x^2-3x+1}{\left(1-x^2\right)^2\left(1+x\right)^3}=\dfrac{4x^2-3x+1}{\left(1-x\right)^2\left(1+x\right)^5}\)

Tính đạo hàm của hàm số  \(y=\dfrac{x}{\left(1-x\right)^2\left(1+x\right)^3}\)

​

​\(y=\dfrac{x}{\left(1-x\right)^2\left(1+x\right)^3}=\dfrac{u}{v}\), trong đó \(u=x,v=\left(1-x\right)^2\left(1+x\right)^3\) . Theo quy tắc đạo hàm một thương: \(y'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\).

Ta có     \(u'=1,v'=-2\left(1-x\right)\left(1+x\right)^3+\left(1-x\right)^23\left(1+x\right)^2=\left(1-x\right)\left(1+x\right)^2\left[-2\left(1+x\right)+3\left(1-x\right)\right]=\left(1-x\right)\left(1+x\right)^2\left(-5x+1\right)\).

\(u'v-uv'=1.\left(1-x\right)^2\left(1+x\right)^3-x\left(1-x\right)\left(1+x\right)^2\left(-5x+1\right)=\left(1-x\right)\left(1+x\right)^2\left[\left(1-x^2\right)-x\left(-5x+1\right)\right]=\left(1-x\right)\left(1+x\right)^2\left(4x^2-x+1\right)\)

\(y'=\dfrac{\left(1-x\right)\left(1+x\right)^2\left(4x^2-x+1\right)}{\left(1-x\right)^4\left(1+x\right)^6}=\dfrac{4x^2-x+1}{\left(1-x\right)^3\left(1+x\right)^4}\)

Tính đạo hàm của hàm số \(y=\dfrac{\left(1-x\right)^p}{\left(1+x\right)^q}\).

​\(y=\dfrac{\left(1-x\right)^p}{\left(1+x\right)^q}=\dfrac{u}{v}\)  với \(u=\left(1-x\right)^p,v=\left(1+x\right)^q\). Áp dụng quy tắc đạo hàm một thương \(y'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\).

Ta có  \(u'=-p\left(1-x\right)^{p-1},v'=q\left(1+x\right)^q\)

\(u'v-uv'=-p\left(1-x\right)^{p-1}\left(1+x\right)^q-\left(1-x\right)^pq\left(1+x\right)^{q-1}=\left(1-x\right)^{p-1}\left(1+x\right)^q\left[-p\left(1+x\right)-q\left(1-x\right)\right]=-\left(1-x\right)^{p-1}\left(1+x\right)^{q-1}[\left(p-q\right)x+p+q]\)

Từ đó     \(y'=\dfrac{-\left(1-x\right)^{p-1}\left(1+x\right)^{q-1}\left[\left(p-q\right)x+p+q\right]}{\left(1+x\right)^{2q}}=\dfrac{-\left(1-x\right)^{p-1}\left[\left(p-q\right)x+p+q\right]}{\left(1+x\right)^{q+1}}\)

Tính tổng  \(S=C^0_7+2^2C^1_7+3.2^2C^2_7+...+8.2^7C^7_7\).

Viết lại tổng đã cho dưới dạng ​\(S=1.2^0C^0_7+2.2^1C^1_7+3.2^2C^2_7+...+8.2^7C^7_7=\sum\limits^7_{k=0}C^k_7\left(k+1\right)2^k.\) Nếu kí hiệu \(u\left(x\right)|_{x=x_0}=u\left(x_0\right)\) là giá trị của hàm số \(u\left(x\right)\) tại \(x=x_0\) thì

\(S=\sum\limits^7_{k=0}C^k_7\left(k+1\right)2^k=\sum\limits^7_{k=0}\left(C^k_7x^{k+1}\right)'|_{x=2}=\left(\sum\limits^7_{k=0}C^k_7x^{k+1}\right)'|_{x=2}=\left(x\sum\limits^7_{k=0}C^k_7x^k\right)'|_{x=2}=\left(x\left(x+1\right)^7\right)'|_{x=2}=\left(\left(x+1\right)^7+x.7\left(x+1\right)^6\right)|_{x=2}=3^7+14.3^6=17.3^6=12393\)

Tính đạo hàm của hàm số \(y=\frac{\cos x}{2\sin^2x}\) .

Tính \(y'\) biết \(y=\frac{\sin x-x\cos x}{\cos x+x\sin x}\) .

Tính đạo hàm hàm số \(y=\sin\left(\cos^2x\right).\cos\left(\sin^2x\right)\).

Cho hàm số \(f\left(x\right)=\dfrac{\cos^2x}{1+\sin^2x}\)

Tính giá trị biểu thức \(f\left(\frac{\pi}{4}\right)-3f'\left(\frac{\pi}{4}\right)\).

Cho hàm số \(f\left(x\right)=\dfrac{-\cos x}{3\sin^3x}+\dfrac{4}{3}\cot x\)

Tính \(f'\left(\frac{\pi}{3}\right)\) .

Cho hàm số \(f\left(x\right)=\sin^35x.\cos^2\dfrac{x}{3}\).

Tính  \(f'\left(\frac{\pi}{2}\right)\).

Cho hàm số \(y=x.e^{-x}\). Khẳng định nào trong các khẳng định sau đây đúng ?

Tính đạo hàm của hàm số \(y=\left[\frac{1-x^2}{2}\sin x-\frac{\left(1+x\right)^2}{2}\cos x\right]e^{-x}\).

Tính đạo hàm của hàm số    \(y=e^{ax}.\frac{a.\sin bx-b.\cos bx}{\sqrt{a^2+b^2}}\).

Cho hàm số   \(f\left(x\right)=-\dfrac{\cos x}{2\sin^2x}+\ln\sqrt{\dfrac{1+\cos x}{\sin x}}\).   Tính \(f'\left(\frac{\pi}{4}\right)\) .

Cho hàm số \(g\left(x\right)=-\dfrac{1}{2\sin^2x}+\ln\tan x\). Tính \(g'\left(\frac{\pi}{6}\right)\) .

Cho hàm số \(f\left(x\right)=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\ln\left(\dfrac{\tan\dfrac{x}{2}+2-\sqrt{3}}{\tan\dfrac{x}{2}+2+\sqrt{3}}\right)\)

Tính \(f'\left(\frac{\pi}{2}\right)\).

Cho hàm số \(y=e^{-x}.\sin x\). Khẳng định nào trong các khẳng định sau đây đúng ?

Cho hàm số \(y=x.\sin x\). Khẳng định nào trong các khẳng định sau đây đúng ?

Cho hàm số \(y=e^{\cos x}\). Hãy chọn hệ thức đúng ?

Cho hàm số \(y=\sin\left(\ln x\right)+\cos\left(\ln x\right)\). Khẳng định nào trong các khẳng định sau đây đúng ?

Cho hàm số \(f\left(x\right)=\dfrac{\cos x}{1-\sin x}\).  Tính  \(f'\left(\frac{\pi}{6}\right)-f'\left(-\frac{\pi}{6}\right)\) 

Cho hàm số \(y=f\left(x\right)=\frac{\cos x}{1+2\sin x}\). Khẳng định nào trong các khẳng định sau là sai?

Viết điều kiện với \(a,b\) để hàm số \(f\left(x\right)=\dfrac{b\cos x+a\sin x+1}{\cos x-\sin x+1}\) có \(f'\left(-\frac{\pi}{4}\right)=0\) .

Cho hàm số  \(f\left(x\right)=\sin^3x+\cos^3x\) . Tính \(f'\left(\frac{\pi}{6}\right)\).

Tính đạo hàm của hàm số \(y=\tan^3x-3\tan x+3x\). 

Cho hàm số \(y=\varphi\left(t\right)=\sqrt{1+\cos^2t^2}\) . Tính \(\varphi'\left(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\right)\).

Cho hàm số \(y=f\left(t\right)=\ln\left(\frac{2+\tan t}{2-\tan t}\right)\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

Cho hàm số \(f\left(x\right)=-\dfrac{\cos x}{3\sin^3x}+\dfrac{4}{3}\cot x\)

Tính  \(f'\left(\frac{\pi}{3}\right)\) .

Cho hàm số \(y=e^{-x}.\sin x\). Hệ thức nào đúng ?

Cho hàm số \(y=f\left(x\right)=x\sin x\). Tính  \(f\left(\frac{\pi}{2}\right)+f'\left(\frac{\pi}{2}\right)+f"\left(\frac{\pi}{2}\right)+f'''\left(\frac{\pi}{2}\right)\) .

Hàm số \(y=2\sin x+1\) là đạo hàm của hàm số nào sau đây ?

Mệnh đề nào sau đây sai ?

Mệnh đề nào sau đây sai ?