Ôn tập tổ hợp xác suất lớp 11 có đáp án chi tiết

Giới thiệu chung về tổ hợp và xác suất

Tổ hợp và xác suất là một chủ đề quan trọng trong chương 2 môn Đại số và Giải tích lớp 11. Đây là kiến thức nền tảng giúp học sinh tiếp cận các bài toán thống kê, xác suất thống kê ở các chương sau cũng như ứng dụng thực tiễn sau này.

Trong chương này, học sinh sẽ được học các khái niệm cơ bản về tổ hợp, cách tính tổ hợp, các tính chất của tổ hợp. Bên cạnh đó là các khái niệm cơ bản về xác suất, công thức xác suất cổ điển, xác suất có điều kiện và các bài toán ứng dụng liên quan.

Hi vọng qua bài viết ôn tập này, các em học sinh sẽ nắm chắc lại toàn bộ kiến thức đã học và có thể vận dụng linh hoạt vào giải quyết các bài toán thực tế.

Các khái niệm cơ bản về tổ hợp

Tổ hợp là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết xác suất. Tổ hợp được hiểu là cách chọn, cách phân bố một số phần tử nào đó trong một tập hợp cho trước.

Cụ thể, cho tập hợp A gồm n phần tử a1, a2, ..., an. Ta lấy ra k phần tử (k ≤ n) bất kỳ từ tập A gọi là lấy k phần tử trong tổ hợp chập k của n phần tử A.

Ký hiệu: C(n, k) đọc là "tổ hợp chập k của n phần tử".

Một số khái niệm cơ bản:

• Phần tử: Là các yếu tố cấu thành nên tập hợp A.
• Số phần tử của tập hợp A: ký hiệu n, với n là số nguyên dương.
• Số phần tử được chọn: ký hiệu k, với k là số nguyên không âm và k <= n.

Công thức tính tổ hợp

Công thức tổ hợp chập k của n phần tử:

C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)

Trong đó:

• n! đọc là "n giai thừa", với n! = 1 x 2 x 3 x... x n.
• k! đọc là "k giai thừa", với k! = 1 x 2 x 3 x... x k.
• (n-k)! đọc là "n trừ k giai thừa", với (n-k)! = 1 x 2 x 3 x... x (n-k).

Như vậy:

C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)

Một số tính chất của tổ hợp

Tổ hợp có một số tính chất sau:

• C(n, 0) = C(n, n) = 1 (chọn 0 phần tử hoặc chọn hết n phần tử thì chỉ có 1 cách)
• C(n, k) = C(n, n - k) (đảo ngược số phần tử chọn và không chọn)
• C(n, k) = n!/k!(n-k)! = (n-k+1)(n-k+2)...(n-1)n/1.2....k
• C(n, k) = C(n-1, k) + C(n-1, k-1) (nguyên lý cộng)

Các khái niệm cơ bản về xác suất

Xác suất là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết xác suất thống kê. Xác suất được hiểu là mức độ tin tưởng, kỳ vọng một sự kiện xảy ra khi thực hiện một thí nghiệm ngẫu nhiên.

Các khái niệm cơ bản về xác suất:

• Thí nghiệm ngẫu nhiên (random experiment): Là quá trình thực hiện thí nghiệm mà kết quả không thể dự đoán trước được.
• Mẫu không gian (sample space): Là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra khi thực hiện thí nghiệm.
• Sự kiện (event): Là một tập con bất kỳ của mẫu không gian.
• Xác suất (probability): Là số đo lường mức độ tin tưởng một sự kiện xảy ra, ký hiệu P(A).

Công thức xác suất cổ điển

Giả sử S là mẫu không gian với N(S) là số phần tử của S. A là một sự kiện, với N(A) là số phần tử của A.

Khi đó, xác suất của sự kiện A xảy ra là:

P(A) = N(A)/N(S)

Như vậy, xác suất của một sự kiện bằng tỷ lệ số kết quả thuận lợi cho sự kiện đó trên tổng số các kết quả có thể xảy ra.

Xác suất có điều kiện

Xác suất có điều kiện được hiểu là xác suất xảy ra một sự kiện A khi biết chắc chắn một sự kiện B đã xảy ra.

Ký hiệu: P(A|B) đọc là xác suất của A khi biết B.

Công thức:

P(A|B) = P(A và B)/P(B)

Trong đó:

• P(A và B): Xác suất của cả hai sự kiện A và B xảy ra.
• P(B): Xác suất của sự kiện B xảy ra.

Các dạng bài tập chính về tổ hợp

Dưới đây là một số dạng bài tập chính thường gặp về chủ đề tổ hợp mà các em cần nắm vững:

1. Tính tổ hợp chập k của n phần tử

- Bài toán yêu cầu tính trực tiếp C(n, k) thông qua công thức:

C(n, k) = n!/k!(n-k)!

- Ví dụ: Cho C(20, 12). Ta có: C(20, 12) = 20!/12!8! = 4845.

2. Áp dụng các tính chất của tổ hợp

- Sử dụng các tính chất đặc biệt của tổ hợp để đơn giản hóa tính toán.

- Ví dụ: Tính C(10, 7). Ta có: C(10, 7) = C(10, 10 - 7) = C(10, 3) = 120.

3. Bài toán liên quan đến tổ hợp

- Áp dụng kiến thức tổ hợp vào giải quyết các bài toán thực tế.

- Ví dụ: Từ 7 người: A, B, C, D, E, F, G cần chọn ra một đoàn gồm 5 người. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

+ Giải: Áp dụng công thức tổ hợp ta có: Số cách = C(7, 5) = 21.

Các dạng bài tập chính về xác suất

Dưới đây là một số dạng bài tập thường gặp về xác suất mà các em cần nắm vững:

1. Tính xác suất cơ bản

- Sử dụng công thức xác suất cổ điển: P(A) = N(A)/N(S)

- Ví dụ: Trong một bộ bài tây có 52 lá, lấy ngẫu nhiên 1 lá. Tính xác suất lấy được một lá bài chẵn?

+ Giải: Số lá chẵn là 26. Vậy P(chẵn) = 26/52.

2. Xác suất có điều kiện

- Sử dụng công thức: P(A|B) = P(A và B)/P(B)

- Ví dụ: Một lớp có 20 học sinh, trong đó có 12 học sinh giỏi. Biết rằng ngẫu nhiên chọn một học sinh. Tính xác suất chọn được học sinh giỏi?

+ Giải:

P(Học sinh giỏi) = P(Giỏi | Học sinh) = P(Giỏi và Học sinh)/P(Học sinh) = 12/20.

3. Bài tập tính xác suất của các sự kiện phức tạp

- Sử dụng kiến thức xác suất cơ bản và các công thức xác suất để tính xác suất các sự kiệ

Các bạn có thể tham khảo thêm nguồn khác: