Phương trình tiếp tuyến lớp 11 - Công thức, ví dụ, bài tập

Giới thiệu về phương trình tiếp tuyến

Phương trình tiếp tuyến là một kiến thức quan trọng trong chương trình Toán lớp 11. Phương trình tiếp tuyến dùng để biểu diễn các đường thẳng tiếp xúc với đường cong tại một điểm cho trước.

Việc xác định phương trình tiếp tuyến giúp tìm hiểu tính chất tiếp xúc giữa đường thẳng và đường cong. Ngoài ra, ứng dụng của phương trình tiếp tuyến còn có ý nghĩa quan trọng trong việc giải nhiều bài toán hình học.

Các dạng bài toán về phương trình tiếp tuyến

Một số dạng bài toán cơ bản liên quan đến phương trình tiếp tuyến bao gồm:

• Viết phương trình tiếp tuyến của một đường thẳng cho trước tại một điểm trên đường cong.
• Xác định phương trình tiếp tuyến của một đường tròn tại một điểm cho trước.
• Tìm phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong tại điểm có tiếp xúc.
• Viết phương trình tiếp tuyến vuông góc với một đường thẳng cho trước.

Trong phạm vi bài viết, chúng ta sẽ tìm hiểu một số phương pháp giải các dạng bài toán cơ bản về phương trình tiếp tuyến.

Phương pháp xác định phương trình tiếp tuyến

1. Xác định phương trình tiếp tuyến qua một điểm trên đường cong

Để xác định phương trình tiếp tuyến của đường thẳng (S) tại điểm M trên đường cong (C) ta thực hiện các bước:

• Tìm phương trình đường thẳng (S) qua 2 điểm M và M' (M' là điểm rất gần M).
• Tính giới hạn của phương trình đường thẳng khi M' tiến về M.

Phương trình tìm được chính là phương trình tiếp tuyến của (S) tại M.

2. Tìm phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Để xác định phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm M(x_M, y_M) trên đường tròn ta thực hiện:

• Lập phương trình đường thẳng đi qua M và tâm O(a, b) của đường tròn.
• Phương trình vừa tìm được chính là phương trình tiếp tuyến tại M.

Một số ví dụ minh họa

Dưới đây là một số ví dụ minh họa cho các phương pháp xác định phương trình tiếp tuyến:

Ví dụ 1

Cho đường tròn (C) có phương trình x² + y² + 2x - 4y + 1 = 0. Tìm phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(-1, 2).

• Đường tròn (C) có tâm O(1, -2)
• Lập phương trình đường thẳng qua M(-1, 2) và O(1, -2): y - 2 = (2)/(1) (x + 1)
• Phương trình vừa tìm được chính là phương trình tiếp tuyến của (C) tại M.

Ví dụ 2

Cho đường parabol y = x² - 4x + 5. Tìm phương trình tiếp tuyến của đường parabol tại điểm M(2, 1).

• Lấy điểm M'(2 + h, (2+h)² - 4(2+h) + 5) trên parabol cách M một khoảng nhỏ h.
• Lập phương trình đường thẳng qua M và M': y - 1 = (4h)/(2h)(x - 2)
• Tính giới hạn khi h → 0 ta được phương trình tiếp tuyến: y - 1 = 2(x - 2)

Như vậy, phương trình tiếp tuyến của parabol tại M là: y - 1 = 2(x - 2).

Kết luận

Phương trình tiếp tuyến là một kiến thức quan trọng, có nhiều ứng dụng thực tiễn. Hy vọng qua bài viết, các em học sinh đã nắm được một số phương pháp cơ bản để xác định phương trình tiếp tuyến tại một điểm cho trước trên đường thẳng hoặc đường tròn.

Để nắm chắc kiến thức, các em cần luyện tập nhiều bài tập vận dụng lí thuyết vào giải quyết các tình huống cụ thể.

Tìm hiểu & tham khảo về Phương Trình Tiếp Tuyến Lớp 11